Numeri ed infinitesimi con Newton e Leibniz

Attilio A. Romita sul pianerottolo con Salvatore Aglieri Rinella e Giorgio Zoli

AAR -In una precedente chiaccherata abbiamo parlato di Newton e della sua importanza nello studio della fisica moderna. Credo però che si sia anche interessato di altri temi oltre la legge di gravitazione.

SAR - Newton fa la prima grande unificazione: gravità terrestre e meccanica celestesono due aspetti della stessa forza, la Gravitazione. E’ questa la prima forza fondamentale che governa il moto di tutti i corpi ovvero la meccanica.

AAR - Credo però che si sia anche interessato di altri temi oltre la legge di gravitazione e la meccanica.

SAR – Si. Newton si è anche occupato di Ottica e di Calcolo Infinitesimale.

AAR – Ottica …parliamo forse di lenti ed occhiali …..

SAR – Anche. Per il primo vorrei ricordare che Newton ipotizza una natura corpuscolare della luce e cerca di spiegare tutti i fenomeni allora noti.

AAR – Vuoi dire che Newton è il primo a parlare di quanti di luce, cioè come se la luce fosse composta di una specie di atomi elementari.

GZ -  Questo doppio aspetto della luce è molto interessante e sarebbe utile esplorarlo per  capire se sono due aspetti reali dello stesso fenomeno.

SAR – La natura ondulatoria emergerà con maggiore forza negli esperimenti degli anni/secoli successivi. Quella corpuscolare riprenderà vigore con Einstein nel 1905 per trovare la giusta sintesi tra i due aspetti negli anni 20/30 del secolo scorso.

AAR – Credo che questo argomento dovremo esaminarlo più a fondo. Per adesso torniamo agli esperimenti di Newton ed alle sue scoperte scientifiche.

SAR - Newton scopre la natura dei colori, scomponendo con un prisma la luce solare nei colori dell'arcobaleno. Mette a punto il telescopio a riflessione ovvero a specchio (curvo) alla base di tutta la moderna tecnica dei telescopi. Descrive il meccanismo della visione dell'occhio. E tutti i suoi esperimenti li descrive in un trattato, OPTIKS, facendo uso "solo" di straordinari disegni e senza l'uso di formule.

AAR – Hai detto “Opticks”, mi sembra inglese e non latino come usava tra gli scienziati del tempo.

SAR - Si in inglese al contrario dei Principia che erano scritti in latino, come si usava allora nella comunità scientifica. L'ultimo trattato scritto in latino sembra sia le "Disquisitiones Arithmeticae" scritto da Gauss e pubblicato nel 1801 (aveva 24 anni e già famoso per aver inventato la quinta operazione elementare). I matematici dell'epoca si lamentarono molto perché Gauss avevo usato un linguaggio troppo difficile!

AAR – Allora dobbiamo a Newton un'altra primogenitura la scoperta della lingua inglese come linguaggio abbastanza universale per i trattati scientifici. Con buona pace dall’oftalmologo polacco Ludwik Lejzer Zamenhof che intorno al 1889 aveva inventato l’esperanto, una lingua artificiale che sarebbe dovuta essere una lingua universale.

Scusa, hai detto “Quinta operazione elementare” ….

SAR - È la “Modulo n” dove n è un numero intero. È la matematica dell’orologio o del baccarat. Per l’orologio n è uguale a 24. Es. Sono le 22. Tra quattro ore saranno le 2. Per il baccarat n è  uguale a 10. Ovvero 7+6=3. Per esattezza andrebbero scritti 26 = 2 (mod 24) e 13 = 3 (mod 10).  Lo usiamo sempre per guardare l’orologio e capirlo! Quindi un’operazione nota a tutti noi in pratica, ma che non viene citata usualmente come operazione elementare.     

AAR – Vorrei capire. Con la operazione “Modulo n” è possibile rappresentare qualsiasi numero con i numeri da 1 a n moltiplicati per n volte n. Cioè nel caso dell’orologio se il numero di ore supera le 24 diciamo che è passato uno o più “modulo 24” ed un certo numero di ore cioè semplificando il discorso uno o più giorni ed un certo numero di ore. Nel caso del Baccarat sappiamo che il punteggio delle proprie carte è pari alla somma delle carte, escludendo il 10 e le figure, cui si sottrae 10 ed i multipli di 10.  

SAR – Corretto. “Modulo n” ha conseguenze immani per la matematica delle congruenze. Varrà sicuramente la pena riparlarne per capire la sua importanza.

AAR – Torniamo a Newton ed all’altro argomento: il calcolo infinitesimale. Ma i miei ricordi scolastici mi indicano Leibniz come autore di questo modo matematico utile per descrivere i fenomeni fisici quasi “spezzettandoli” matematicamente in una successione infinita di piccoli avvenimenti.

SAR – Si. Il calcolo infinitesimale viene spesso ricordato per la controversia tra Newton e Leibniz sulla primogenitura. Probabilmente l'hanno scoperto indipendentemente. La notazione usata ancora oggi è quella di Leinbiz. Comunque Newton è il primo ad applicare il calcolo ai suoi problemi di meccanica celeste o di fisica in generale.

AAR – Credo che il calcolo infinitesimale sia una vera pietra miliare per la scienza.

SAR –Si. Dal calcolo infinitesimale derivano molte parti della matematica. Solo ad esempio la geometria differenziale con cui Einstein metterà a punto la Relatività Generale. Ed anche i gruppi continui (Lie Group) che sono alla base di buona parte della meccanica quantistica.

AAR - Lie Group? Questa volta mi sono documentato ed ancora una volta INTERNET mi ha fornito un aiuto. Attenzione alle traduzioni frettolose i LIE GROUP non sono un Gruppo di bugiardi (lie), ma si riferiscono allo studio del prof. Sophus Lie che ha sviluppato a fine ‘800 la teoria della simmetria continua che caratterizza gli oggetti e le strutture descritte da formule matematiche. Questo strumento teorico è indispensabile per capire molte moderne teorie fisiche.Ma è possibile fare qualche esempio “facile” per capire qualcosa del Calcolo infinitesimale?

SAR – Si. Per es. può aiutarci a capire il paradosso della freccia di Zenone.

AAR – Se non ricordo male quella storia che raccontava il filosofo Zenone: una gara tra Achille ed una tartaruga che parte con un vantaggio di mezzo percorso ogni volta che Achille raggiunge il punto dove era la tartaruga unistante prima, la tartaruga avrà percorso un altro pezzetto di strada e così via all’infinito.

SAR - Il paradosso di Achille e la Tartaruga è sicuramente il più conosciuto. Per risolverlo bisogna capire il significato di numero periodico ovvero con infinite cifre decimali ripetitive a gruppi, ma che è finito. Magari facciamo una sessione separata sui paradossi di Zenone e come vengono risolti dalla matematica secondo il mio parere.  

AAR – D’accordo lasciamo da parte Zenone, Achille, le tartarughe ed i numeri periodici …accolgo il suggerimento di farne una chiaccherata a parte.
 Torniamo …..

SAR – ….. alla freccia. La velocità si può definire come il rapporto tra spazio percorso e tempo impiegato. Se lo spazio in esame diventa piccolissimo, diciamo infinitesimo, anche il tempo impiegato diventa infinitesimo. Ma il loro rapporto tende ad un valore finito: la velocità istantanea. E la freccia di Zenone all'istante t non è ferma. Si muove. Il movimento esiste. Anzi forse il movimento è la vera essenza della meccanica e della realtà. Ne riparleremo.

AAR – Non è facile capire come il rapporto tra due valori infinitesimi diventa un valore finito.

SAR –  E perché no. Spazio alla fantasia e al calcolo. Provare per credere. È un processo di approssimazioni successive, ovvero il limite, che porta ad  un valore ben definito. Certamente è poco per comprendere il concetto di derivata di una funzione, ma spero sufficiente a far capire come gli infinitesimi diventano un ingrediente fondamentale per studiare la fisica. E quindi di qualunque campo dell'ingegneria!

AAR – Ho idea che sarà necessaria qualche altra nozione di questi strumenti matematici che aiutano a studiare ed anche a comprendere come funzionano i fenomeni fisici analizzandoli quasi con un microscopio matematico.  

A questo proposito mi viene in mente un esempio letto in un articolo divulgativo anni fa: Se cade un seme di grano non sentiamo alcun suono, se cadono mille semi sentiamo un gran rumore: un insieme di niente diventa qualcosa di reale sembrerebbe un’assurdità!

SAR – Non è assurdo, è la logica del calcolo infinitesimale. Vi ricordate dei punti di un segmento? Infiniti punti di dimensione nulla danno un segmento reale. Fantasia? Poesia? Certamente si. Per fare matematica ci vuole grande creatività e capacità di immaginazione. Anche per la fisica. Ma è ora di lasciare Newton sul suo piedistallo e di continuare il nostro viaggio che ci porterà alla "luce" e quindi quasi a tutto.

AAR – Giusto i Quanta di luce ci aspettano ed insieme a loro altri argomenti 

nati nel corso di questa chiaccherata come la soluzione dei Paradossi di 

Zenone.

         Alla prossima chiacchierata!