Zenone ed i suoi paradossi.

AAR - Ciao Salvatore, in una precedente chiacchierata abbiamo accennato a Zenone ed ai suoi paradossi cioè, come spiega la Enciclopedia Treccani, sono “Affermazione, proposizione, tesi, opinione che, per il suo contenuto o per la forma in cui è espressa, appare contraria all’opinione comune o alla verosimiglianza e riesce perciò sorprendente o incredibile.”

Tradizionalmente sono attribuiti a Zenone 4 paradossi legati al tempo, il moto, la velocità e lo spazio. Di volta in volta proverò a raccontarli come li ho capiti e ti chiederei di darci una spiegazione logica che, per così dire, ci faccia capire che i paradossi non sono paradossali!.

Ma la banale esperienza giornaliera ci fa pensare che Zenone ci sta imbrogliando con le parole.

SAR. Darò delle risposte molto dirette. Logici e matematici magari non saranno d'accordo. Ma Zenone parla di spazio, movimento .... ovvero concetti fisici. E questo sarà il mio approccio.

AAR D’accordo, poi se c’è qualcosa di poco chiaro, chiederò altre spiegazioni, perché credo che questo argomento se ben capito potrà aiutarci a comprendere molti aspetti della matematica e della fisica che a prima vista possono sembrare astrusi e quasi magici.

Il primo paradosso è quello cosiddetto della dicotomia per il quale noi non possiamo arrivare alla fine di una strada se non arriviamo prima a metà strada e così via di infiniti irraggiungibili dimezzamenti del percorso;

SAR - Se sommo 1/2 (metà del percorso) a 1/4 (metà della metà) a 1/8 e così via un numero infinito di volte ottengo 1. Facile e ben noto nei licei. Perché Zenone afferma che non arriviamo mai? Perché fa una assunzione implicita e sbagliata che per percorrere ogni passo impiego un certo tempo finito e costante e quindi la somma di infiniti tempi uguali fa infinito. Ovvero il mai. Noi sappiamo che non è così. Infiniti punti stanno in un segmento finito. Potremmo dire che è l'aspetto operazionale (devo fare i vari passi, devo sommare i vari termini) che porta al paradosso.

AAR – Questo concetto che una somma di infiniti infinitesimi dà per risultato un valore finito è abbastanza difficile da digerire e l’esempio di un segmento che ha una lunghezza vera costruito da infiniti punti senza “lunghezze” proprie è abbastanza illuminante.

Passiamo ora al secondo paradosso quello di Achille e la tartaruga. Il piè veloce Achille non raggiunge mai una tartaruga molto più lenta e partita qualche metro avanti a lui, ma noi sorpassiamo facilmente un auto più lenta e allora?

SAR Quando la tartaruga ha percorso la distanza diciamo 1 in un tempo 1 (nostre unità di misura fantasiose ma corrette), Achille si avvia. Supponiamo che Achille sia cento volte più veloce della tartaruga.

Achille arriva al punto cui era arrivata la tartaruga (distanza 1) dopo un centesimo del tempo che aveva impiegato la tartaruga. Ovvero 0,01.

Ma in questo tempo la Tartaruga ha percorso un centesimo della precedente distanza. Cioè si trova a 1 più un 0,01, ovvero 1,01.

Achille per percorrere questo ulteriore centesimo del percorso iniziale impiegherà un centesimo del tempo impiegato dalla tartaruga. Ovvero un centesimo in più del centesimo originario. Ovvero 0,01 più un centesimo di 0,01, che è pari a 0,0001. Sommando otteniamo 0,0101. Fatemi dire e così via. Quindi Zenone fa infiniti passaggi e analizza il fenomeno per un tempo reale che è di 1,0101010101… o come scrivono i ragazzi della scuola media 1,(01) periodico.

Ancora una volta l'aspetto operazionale di contare infiniti passaggi logici, porta Zenone a enunciare il paradosso. L'infinito e gli infinitesimi ci gironzolano sempre intorno. Provate a dividere 10 per 3 e trovate 3,3333333.... che sicuramente è più grande di 3 e più piccolo di 4 o anche è più grande di 3,33333 e più piccolo di 3,33334. Chiaro il giochino? Ora mettete all’opera un elaboratore potentissimo e ditegli di calcolare esattamente 10/3. Impiegherà un tempo infinito. Questo vuol dire che 10/3 è infinito. No!   è un numero con infinite cifre decimali. Nessun elaboratore riuscirà a trovarle tutte. Saranno solo approssimazioni sempre più precise.  è infinito? No! Zenone per cortesia non imbrogliare.     

AAR – Ci devo pensare bene perché questo fatto dei numeri periodici mi porterebbe a concludere che Achille arriva sempre a sfiorare la tartaruga, ma non la sorpassa mai e questo è paradossale perché ognuno di noi fa infiniti sorpassi di persone più lente. Forse occorre qualche ulteriore chiarimento.

SAR. Zenone riesce perfino a farci dimenticare tutti i nostri concetti. Non potrei che ripetere il ragionamento fatto. Se non è chiaro mi arrendo a Zenone. Ma devo insistere. Come hai detto tu, ti sta imbrogliando con le parole.

AAR. Veniamo ora la terzo paradosso quello della freccia il cui percorso è come una serie di istantanee, cioè di fermate …eppur si muove.

SAR  La soluzione era già stata descritta in una precedente chiacchierata quando è stato introdotto il concetto di velocità istantanea. La freccia è esattamente in un certo posto in un preciso istante, ma si muove. Eccome. Ne approfitto per fare un viaggio in un nostro futuro pianerottolo e tornare indietro. Con il pensiero possiamo viaggiare nel tempo come vogliamo! Tenetevi forte e pronti a un "paradosso" molto più estremo di quello di Zenone.

AAR. Forse dipende da come misuriamo lo spazio in cui si muove la freccia?

SAR Anche. Pensiamo di usare un metro o qualunque altro oggetto similare. Via via che la freccia si muove noi sommiamo i vari tratti percorsi. Logico ?

AAR d’accordo e poi?

SAR Attenzione abbiamo già fatto una assunzione implicita molto importante. Che la somma delle parti è uguale al totale. Cioè lo spazio ha la proprietà additiva. E anche moltiplicativa. Abbiamo assunto che lo spazio è lineare, ovvero omogeneo. Sempre con le stese caratteristiche, qui o lì. Che barba direte Voi. Si avete ragione. Ma Einstein ci farà cambiare idea!

AAR Credo ci serva anche un misuratore di tempo per capire meglio

SAR Si. Pensiamo di usare un bel orologio di precisione. Come è fatto l'orologio? Diciamo ha delle lancette e delle tacche sul quadrante. Quindi vediamo su quale tacca sta la lancetta (o le lancette) e abbiamo misurato il tempo. Ma il giovante ventenne Einstein vi direbbe (e lo ha detto per davvero). “Ma allora il tempo lo percepiamo come una coincidenza tra una lancetta e una tacca sul quadrante?” Quindi dovremo usare spazio e coincidenza tra due eventi per misurare il tempo. Da questa banale e giovanile osservazione dell'orologio del campanile di Berna e con pochi passaggi di matematica delle scuole medie, come vedremo Einstein mette a punto la Relatività ristretta!

AAR Per adesso restiamo a Zenone.

SAR Per misurare il movimento della freccia misuro lo spazio con il metro, per misurare il tempo uso il movimento delle lancette dell'orologio, ergo il paradosso è che per misurare il movimento debbo usare il movimento. Sembra un ragionamento logicamente ricorsivo e quindi sbagliato. Come ne veniamo fuori. Così! Esiste solo il movimento e lo spazio. Esistono solo relazioni tra movimenti (freccia e lancette). Vi ricorda Aristotele, Cartesio, Leibniz? E il tempo. Spiacente sembra sparito! Ne riparleremo. Non vi preoccupate c’è ancora.    

AAR  Questo tempo che c’è, ma non c’è potrebbe quasi pensare un gioco di parole forse ne dovremo riparlare …..quando per capire come definiamo questo tempo che c’è, ma non c’é.

SAR Infatti l’ho buttata li per gli appetiti futuri

AAR L’ultimo paradosso è quello dello stadio in cui a due corridori che si corrono incontro  sembra di avere una velocità doppia di quella che vede un terzo corridore fermo.

SAR  Galileo e Newton hanno chiarito che le velocità sono relative e che se sono ben allineate si sommano o si sottraggono. Tutti noi abbiamo nel nostro bagaglio di esperienza quotidiano questo concetto. Quindi è vero che i due corridori si vengono incontro ad una velocità doppia rispetto a quella misurata dal terzo osservatore che sta fermo tra i due. La velocità è relativa e dipende dall'osservatore.

AAR mi sembra che però abbia qualcosa da ridire quando di parla di qualcosa come la luce che ha una velocità insuperabile.

SAR E qui ritorna il nostro Albert ventenne scatenato. Quindi quando misuro una velocità devo sempre specificare rispetto a chi? Certo, ma si sa dai tempi di Galileo e Newton, avrebbe risposto il suo insegnate di fisica. Ma Albert era pronto a sparare la cannonata. E sei i due corridori fossero due fotoni (che per definizione viaggiano alla velocità della luce)?  Era una domanda retorica per Einstein. Lui aveva studiato bene le equazioni di Maxwell. Nel vuoto la velocità della luce (che per convenzione si indica con “c”) è indipendente dall'osservatore. Quindi i due fotoni si vedono avvicinare tra di loro alla velocità c e non 2 per c. Fermi tutti. Stiamo dicendo che se sommo c a c ottengo c? Cioè c+c=c? Si. Non vi ricorda tanto infinito + infinito è uguale a infinito? Quindi una regola che ci sembrava bizzarra ma relegata agli infiniti, si applica anche a un numero finito come la velocità delle luce? Però. Dovremmo dire grazie a Zenone che ci ha permesso di porci tante altre nuove domande e anticipare alcune risposte "pazzesche". Ma per capirla dobbiamo studiare come funzionano telefonini, radar, luce, televisione ....... ovvero l'elettromagnetismo, ovvero Maxwell, da cui ha preso le mosse Einstein. Meglio ancora più indietro. Il nostro rilegatore di libri. Il signor Faraday. Al prossimo pianerottolo.          

AAR Questa nota dedicata a Zenone potrebbe essere considerata come un intermezzo del lungo viaggio della fisica e ci ha fatto intravedere l’importanza di introdurre concetti relativi all’infinito, agli infinitesimi ed ai limiti. Alla prossima chiacchierata.